NOTE SUR LE CHOIX DES COURBES FAIT PAR AL-KHAYYAM DANS SA RESOLUTION DES EQUATIONS CUBIQUES ET COMPARAISON AVEC LA METHODE DE DESCARTES - Archive ouverte en Histoire etPhilosophie des Sciences et des Techniques Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Lebanese Science Journal Année : 2005

NOTE SUR LE CHOIX DES COURBES FAIT PAR AL-KHAYYAM DANS SA RESOLUTION DES EQUATIONS CUBIQUES ET COMPARAISON AVEC LA METHODE DE DESCARTES

Résumé

It is well known that Al-Khayâm, for the first time in history, formulated a complete theory to solve third degree equations using the intersection of geometric curves and moreover solved the fourteen types of equations using this method. His solution for these equations was either using the intersection of two parabolas, a parabola and a circle, a parabola and a hyperbola, a circle and a hyperbola or two hyperbolas. His style was purely synthetic lacking any analysis which may lead to deducing any motives for his choice of the curves. Our article is centered on a pointed detail which is the justification of the choice of these curves, knowing that R. Rashed studied this choice in all of the mentioned fourteen equations. As for Descartes, whose style is as synthetic as Al-Khayâm's, we ask the same question concerning the solution of the third degree equations, searching for any possible resemblance between the two methods of solution, both mathematicians having been motivated similarly in geometric resolutions. We noticed that the choice of the fourteen curves couples was made by Al Khayyâm regarding a uniform calculation technique that he applied systematically to each equation type among the fourteen. It has appeared that the choice of the curves made by Descartes is the result of distinct calculation techniques, even though the projects of the two mathematicians are of the same essence, and their motivations are the same: finding the solution of third degree equations using the intersection of conical curves and the equations of curves.
Dans le Traité algébrique d'al-Khayyâm, se trouve formulée pour la première fois une théorie de résolution des équations cubiques par l'intersection de courbes géométriques. De plus, ce mathématicien a réussi à résoudre, par cette méthode, les quatorze types de ces équations. Il a résolu chacun de ces types au moyen d'un couple de sections coniques prises parmi les suivantes : cercle, parabole et hyperbole (équilatère). Il ne justifie pas son choix du couple de courbes utilisées dans la solution : son style en ce qui concerne ce point est purement synthétique. Cette note porte sur un détail pointu : justifier le choix fait par al-Khayyâm de ces couples de courbes, bien que ce détail ait été étudié par R. Rashed. Par la même occasion, nous nous sommes posé la même question pour Descartes (dont le style n'est pas moins synthétique), à la recherche d'une ressemblance possible des deux méthodes de résolution. Nous avons pu constater que le choix des quatorze couples de courbes a été fait par al-Khayyâm conformément à un procédé de calcul uniforme qu'il appliquait systématiquement à chacun des quatorze types d'équation. Le choix de tels couples de courbes chez Descartes semble être le résultat de techniques de calcul bien distinctes, bien que le projet soit, sur le fond, le même et que la motivation soit, dans l'essentiel, la même: résolution par intersection de coniques utilisant leurs équations. Mots-clés: Histoire de la géométrie algébrique. Résolutions géométriques des équations cubiques. Al-Khayyâm - Descartes.
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hal-00439189 , version 1 (06-12-2009)

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Citer

Nicolas Farès. NOTE SUR LE CHOIX DES COURBES FAIT PAR AL-KHAYYAM DANS SA RESOLUTION DES EQUATIONS CUBIQUES ET COMPARAISON AVEC LA METHODE DE DESCARTES. Lebanese Science Journal, 2005, 6 (1), pp.95 .. 117. ⟨hal-00439189⟩
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