A simple tree model for unicellular maps
Résumé
We consider unicellular maps, or polygon gluings, of fixed genus. In
FPSAC
'09 the first author gave a recursive bijection transforming
unicellular
maps into trees, explaining the presence of Catalan numbers in
counting
formulas for these objects. In this paper, we give another bijection
that
explicitly describes the ``recursive part'' of the first bijection. As
a
result we obtain a very simple description of unicellular maps as
pairs
made by a plane tree and a permutation-like structure. All the
previously
known formulas follow as an immediate corollary or easy exercise, thus
giving
a bijective proof for each of them, in a unified way. For some of
these
formulas, this is the first bijective proof, e.g. the Harer-Zagier
recurrence
formula, or the Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer formulas. Thanks to
previous
work of the second author this also leads us to a new expression for
Stanley
character polynomials, which evaluate irreducible characters of the
symmetric group.
Nous considèrons des cartes orientèes à une face
de
genre fixé. à SFCA'09 le premier auteur a introduit une
bijection
rècursive envoyant une carte unicellulaire vers un arbre, ce
qui
permet d'obtenir des formules ènumèratives pour les
cartes
à une face (et en particulier la prèsence des nombres de
Catalan).
Dans l'article ici prèsent, et en nous appuyant sur la
bijection
ci-dessus, nous obtenons une incarnation très simple des cartes
à
une face comme des paires formèes d'un arbre plan et d'une
permutation
d'un certain type. Toutes les formules prècèdemment
connues
dècoulent aisèment de cette nouvelle incarnation,
donnant
des preuves bijectives dans un cadre unifié. Pour certaines de
ces
formules, telles que la rècurrence de Harer-Zagier ou les
formules
de Lehman-Walsh/Goupil-Schaeffer, nous obtenons la première
preuve
bijective connue. Par ailleurs, en combinant notre approche avec des
travaux
du second auteur, nous obtenons une nouvelle expression pour les
polyn{\^o}mes
de Stanley qui donnent certaines èvaluations des
caractères du groupe symètrique.
Domaines
Combinatoire [math.CO]
Origine : Accord explicite pour ce dépôt
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