Existence and regularity of Faber-Krahn minimizers in a Riemannian manifold - Université Paris Cité Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2020

Existence and regularity of Faber-Krahn minimizers in a Riemannian manifold

Résumé

In this paper, we study the minimization of $\lambda_1(\Omega)$, the first Dirichlet eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator, within the class of open sets $\Omega$ of fixed volume in a Riemmanian manifold $(M, g)$. In the Euclidian setting (when $(M, g) = (\mathbb{R}^n , e)$), the well-known Faber-Krahn inequality asserts that the solution of such problem is any ball of suitable volume. Even if similar results are known or may be expected for Riemannian manifolds with symmetries, we cannot expect to find explicit solutions for general manifolds $(M, g)$. In this paper we study existence and regularity properties for this spectral shape optimization problem in a Riemannian setting, in a similar fashion as for the isoperi-metric problem. We first give an existence result in the context of compact Riemannian manifolds, and we discuss the case of non-compact manifolds by giving a counterexample to existence. We then focus on the regularity theory for this problem, and using the tools coming from the theory of free boundary problems, we show that solutions are smooth up to a possible residual set of co-dimension 5 or higher.
Dans cet article on \'etudie le probl\`eme de minimiser $\lambda_{1}(\Omega)$, la premi\`ere valeur propre de Dirichlet de l'op\'erateur de Laplace-Beltrami, parmi les ensembles ouverts $\Omega$ de volume fix\'e dans une vari\'et\'e riemannienne $(M,g)$. Dans le cadre euclidien (quand $(M,g)=(\mathbb{R}^n,e)$), l'in\'egalit\'e de Faber-Krahn afirme que les solutions de ce probl\`eme sont des boules. M\^eme si des r\'esultats similaires ont \'et\'e d\'emontr\'es, ou sont susceptibles d'\^etre prouv\'es pour des vari\'et\'es riemanniennes ayant des sym\'etries, on ne peut pas s'attendre \`a pouvoir d\'eterminer explicitement les solutions du probl\`eme pour des vari\'et\'es g\'en\'erales $(M,g)$. Dans cet article, on \'etudie des propri\'et\'es d'existence et de r\'egularit\'e pour ce probl\`eme spectral d'optimisation de forme dans le cadre riemannien, avec une approche similaire au probl\`eme isop\'erim\'etrique. En premier lieu, on donne un r\'esultat d'existence dans le contexte d'une vari\'et\'e riemannienne compacte, et on discute le cas des vari\'et\'es non compactes avec la construction d'un contre-exemple \`a l'existence. Ensuite, on se concentre sur la th\'eorie de la r\'egularit\'e pour ce probl\`eme, et en utilisant des techniques de la th\'eorie des probl\`emes \`a fronti\`ere libre, on prouve que les solutions sont r\'eguli\`eres sauf dans un ensemble r\'esiduel de codimension sup\'erieure ou \'egale \`a 5.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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Dates et versions

hal-02283353 , version 1 (10-09-2019)
hal-02283353 , version 2 (19-03-2020)

Identifiants

  • HAL Id : hal-02283353 , version 2

Citer

Jimmy Lamboley, Pieralberto Sicbaldi. Existence and regularity of Faber-Krahn minimizers in a Riemannian manifold. 2020. ⟨hal-02283353v2⟩
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