Comparing the non-unital and unital settings for directed homotopy - Université Paris Cité Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques Année : 2023

Comparing the non-unital and unital settings for directed homotopy

Résumé

This note explores the link between the q-model structure of flows and the Ilias model structure of topologically enriched small categories. Both have weak equivalences which induce equivalences of fundamental (semi)categories. The Ilias model structure cannot be left-lifted along the left adjoint adding identity maps. The minimal model structure on flows having as cofibrations the left-lifting of the cofibrations of the Ilias model structure has a homotopy category equal to the $3$-element totally ordered set. The q-model structure of flows can be right-lifted to a q-model structure of topologically enriched small categories which is minimal and such that the weak equivalences induce equivalences of fundamental categories. The identity functor of topologically enriched small categories is neither a left Quillen adjoint nor a right Quillen adjoint between the q-model structure and the Ilias model structure.
Cette note explore le lien entre la structure de modèles de type Quillen des flots et la structure de modèles de Ilias sur les petites catégories enrichies sur les espaces topologiques. Les deux ont des équivalences faibles qui induisent des équivalences sur les (semi)catégories fondamentales. La structure de modèles de Ilias ne peut pas être transférée sur les flots le long de l'adjoint à gauche qui ajoute le morphismes identité. La structure de modèles minimale sur les flots ayant comme cofibrations le transfert le long de ce foncteur des cofibrations de la structure de modèles de Ilias a comme catégorie homotopique l'ensemble totalement ordonné à $3$ éléments. La structure de modèles de type Quillen des flots peut être transférée le long de l'adjoint à droite oubliant les morphismes identité. On obtient une catégorie de modèle minimale telle que les équivalences faibles induisent une équivalence sur les catégories fondamentales. Le foncteur identité de la catégorie des petites catégories enrichies sur les espaces topologiques n'est ni un adjoint de Quillen à gauche, ni un adjoint de Quillen à droite entre la structure de modèles de type Quillen et la structure de modèles de Ilias.
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Dates et versions

hal-03713806 , version 1 (05-07-2022)
hal-03713806 , version 2 (03-05-2023)

Identifiants

Citer

Philippe Gaucher. Comparing the non-unital and unital settings for directed homotopy. Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, 2023, LXIV-2. ⟨hal-03713806v2⟩
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