Propriétés d'approximation pour les groupes quantiques discrets - Université Paris Cité Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2013

Approximation properties for discrete quantum groups

Propriétés d'approximation pour les groupes quantiques discrets

Amaury Freslon
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 943830

Résumé

This dissertation is concerned with the notion of approximation property for discrete quantum groups and in particular weak amenability. Our goal is to apply techniques from geometric group theory to the study of quantum groups. We first give a definition of weak amenability in the setting of discrete quantum groups and we develop some aspects of the general theory, inspired by the classical case. We particularly focus on the notion of Cowling-Haagerup constant. We also define a notion of relative amenability in this context which allows us to prove an additional stability result. Similar results are worked out for the Haagerup property. Eventually, we adress the question of free products of weakly amenable discrete quantum groups. Using the work of E. Ricard and X. Qu on Kintchine inequalities for free products, we prove that if two discrete quantum groups have Cowling-Haagerup constant equal to 1, their free product again has Cowling-Haagerup equal to 1. Secondly, we give examples of weakly amenable discrete quantum groups. To do this, we use the recent work of M. Brannan on the Haagerup property for free quantum groups together with ideas from various works on Haagerup inequalities. More precisely, we give a polynomial bound for the norm of projections on coefficients of an irreducible representation of a free orthogonal quantum groups which allows us to "cut off" M. Brannan's functions and compute the Cowling-Haagerup constant. Finally, we apply techniques of monoidal equivalence to extend these results to other classes of discrete quantum groups, some of which are not unimodular.
Cette thèse porte sur les propriétés d'approximation pour les groupes quantiques discrets et particulièrement sur la moyennabilité faible. Notre but est d'appliquer des techniques de théorie géométrique des groupes à l'étude des groupes quantiques. Nous définissons d'abord la moyennabilité faible dans le cadre des groupes quantiques discrets et nous développons une théorie générale en nous inspirant du cas classique. Nous nous attachons particulièrement à la notion de constante de Cowling-Haagerup. Nous définissons aussi une notion de moyennabilité relative qui nous permet de démontrer un résultat de stabilité supplémentaire. Un travail similaire est effectué pour la propriété de Haagerup. Enfin, nous abordons la question des produits libres de groupes quantiques faiblement moyennables. En nous inspirant des travaux de E. Ricard et X. Qu sur les inégalités de Kintchine, nous démontrons que si deux groupes quantiques discrets ont une constante de Cowling-Haagerup égale à 1, leur produit libre amalgamé sur un sous-groupe quantique fini a également une constante de Cowling-Haagerup égale à 1. Ensuite, nous donnons des exemples de groupes quantiques discrets faiblement moyennables. Nous utilisons les travaux de M. Brannan sur la propriété de Haagerup ainsi que des idées liées aux inégalités de Haagerup. Nous donnons une borne polynomiale pour la norme complètement bornée de certains projecteurs qui nous permet ensuite de "découper" les fonctions de M. Brannan pour prouver la moyennabilité faible. Enfin, nous appliquons des techniques d'équivalence monoïdale pour étendre ces résultats à d'autres classes de groupes quantiques, dont certains ne sont pas unimodulaires.
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Dates et versions

tel-00944288 , version 1 (10-02-2014)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00944288 , version 1

Citer

Amaury Freslon. Propriétés d'approximation pour les groupes quantiques discrets. Algèbres d'opérateurs [math.OA]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00944288⟩
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