Groupe de Witt d'une algèbre simple centrale à involution - Université Paris Cité Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2004

The Witt group of a central simple algebra with involution

Groupe de Witt d'une algèbre simple centrale à involution

Résumé

The main theme of this research work is the study of hermitian (equivariant) forms on a central simple algebra with involution and of the (equivariant) Witt group of such an algebra. We are particularly interested in the generalization to the hermitian forms of properties known in quadratic form theory. We are also interested in algebraic information about the (equivariant) Witt group either by isomorphy criteria, either by constructing exact sequences to compare several of these groups. The first chapter recalls definitions, concepts and notations necessary for this work. In the second chapter we study the notion of Morita equivalence between two algebras with involution. This study results in a first isomorphy criterion for the equivariant Witt groups of these algebras to involutions. This criterion remains true if the algebras are assumed to be Brauer-equivalent and it is used in the rest of this work in this form. In the first part of the third chapter, we use Morita equivalence in order to extend to hermitian forms the well-known isotropic and Witt decomposition properties for quadratic forms. In a second part, we we also explain how to obtain, still through Morita equivalence, a definition of the rank and signed discriminant of a hermitian space. The first part of the fourth chapter is the result of a joint work with Mohammad Mahmoudi, who has already been the subject of a publication. Under certain conditions, we build a new exact sequence of Witt groups motivated by exact results obtained on the one hand by Parimala, Sridharan and Suresh and on the other hand by Lewis. The combination of two of these sequences provides an exact octagon of Witt groups. In the case of division algebras, we study in detail the kernel, image and the behaviour with respect to isotropy of each of the applications appearing in these sequences. In the second part of the fourth chapter, we define an isotropy concept for equivariant hermitian forms that allows us to extend to equivariant Witt groups the above results. The fifth chapter aims to study some of the submodules of the Witt group. Inspired by the work of Bayer-Fluckiger and Parimala, we show that the exact octagons of the fourth chapter can be restricted to two specific submodules of the Witt Group in the case of division algebras. In the second part of this chapter, we study the notion of the form of hermitian Pfister introduced by Lewis. We generalize a result of Serhir on the weak hyperbolicity of such forms before defining submodules. We obtain a result concerning the torsion of the intersection of these modules. In the sixth chapter, we prove isomorphy criteria of Witt groups generalizing a known criterion in the theory of quadratic forms under the name of "Harrison's criterion". We define a notion of quadratic reciprocity equivalence of and highlight an extension of a of the previous criteria in the case of global fields. The seventh chapter is devoted to the study of two Whitehead groups and more specifically to obtaining criteria for the triviality of these two groups under certain conditions. After generalizing some results already known, we obtain such criteria locally and then from in a global way by "sticking together" all these criteria.
Le thème principal de ce travail de recherche est l'étude des formes hermitiennes (équivariantes) sur une algèbre simple centrale munie d'une involution et du groupe de Witt (équivariant) d'une telle algèbre. Nous nous intéressons particulièrement à la généralisation au niveau des formes hermitiennes de propriétés connues en théorie des formes quadratiques et à la collecte d'informations sur le groupe de Witt (équivariant) soit par des critères d'isomorphie, soit par construction de suites exactes permettant de comparer plusieurs de ces groupes. Le premier chapitre rappelle définitions, notions et notations nécessaires à ce travail. Dans le second chapitre nous étudions la notion d'équivalence de Morita entre deux algèbres à involutions. Cette étude donne lieu à un premier critère d'isomorphie pour les groupes de Witt équivariants de ces algèbres à involutions. Ce critère reste vrai si les algèbres sont supposées Brauer-équivalentes et il est utilisé dans la suite de ce travail sous cette forme. Dans la première partie du troisième chapitre, nous utilisons l'équivalence de Morita afin d'étendre aux formes hermitiennes les propriétés d'isotropie et de décomposition de Witt bien connues pour les formes quadratiques. Dans une seconde partie, nous expliquons également comment obtenir, toujours par le biais de l'équivalence de Morita, une définition du rang et du discriminant à signe d'un espace hermitien. La première partie du quatrième chapitre est le fruit d'un travail commun avec Mohammad Mahmoudi qui a déjà fait l'objet d'une publication (voir CV ci-joint). Sous certaines conditions, nous construisons une nouvelle suite exacte de groupes de Witt motivée par des suites exactes obtenues d'une part par Parimala, Sridharan et Suresh et d'autre part par Lewis. La combinaison de deux de ces suites fournit un octogone exact de groupes de Witt. Dans le cas des algèbres à division, nous étudions en détail le noyau, l'image ainsi que le comportement par rapport à l'isotropie de chacune des applications apparaissant dans ces suites. Dans la seconde partie du chapitre 4, nous définissons une notion d'isotropie pour les formes hermitiennes équivariantes qui nous permet d'étendre aux groupes de Witt équivariants les suites mentionnées ci-dessus. Le chapitre 5 vise à étudier certains sous-modules du groupe de Witt. En nous inspirant de travaux de Bayer-Fluckiger et Parimala, nous montrons que les octogones exacts du chapitre 4 peuvent se restreindre à deux sous-modules particuliers du groupe de Witt dans le cas des algèbres à division. Dans la seconde partie de ce chapitre, nous étudions la notion de forme de Pfister hermitienne introduite par Lewis. Nous généralisons un résultat de Serhir sur l'hyperbolicité fable de telles formes avant de définir des sous-modules. Nous obtenons un résultat concernant la torsion de l'intersection de ces modules. Dans le chapitre 6, nous prouvons des critères d'isomorphie de groupes de Witt généralisant un critère connu en théorie des formes quadratiques sous le nom de "critère de Harrison". Nous définissons une notion d'équivalence de réciprocité quadratique et mettons en valeur un prolongement d'un des critères précédents dans le cas des corps globaux. Le chapitre 7 est consacré à l'étude de deux groupes de Whitehead et plus spécialement à l'obtention de critères de trivialité de ces deux groupes sous des conditions aussi faibles que possible. Après avoir généralisé quelques résultats déjà connus, nous obtenons de tels critères de façon locale puis de façon globale en "recollant" tous ces critères.
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  • HAL Id : tel-02415761 , version 1

Citer

Nicolas Grenier-Boley. Groupe de Witt d'une algèbre simple centrale à involution. Anneaux et algèbres [math.RA]. Université de Franche Comté, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02415761⟩
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