Existence results for nonlinear wave equations - Université Paris Cité Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Existence results for nonlinear wave equations

Résultats d'existence pour des équations d'ondes non-linéaires

Résumé

This thesis is devoted to showing the existence of global-in-time solutions to some nonlinear equations, including the wave-Klein-Gordon equations and the Dirac equations. For the wave-Klein-Gordon-Dirac equations, based on the hyperboloidal foliation method we establish several global stability results, explore the asymptotic behaviors of these solutions, and study how the solutions are affected when some mass parameters go to certain limits. As an application, we can prove that several physical models are globally stable: the Dirac-Klein-Gordon model, the Dirac-Proca model, the Klein-Gordon-Zakharov model, the U(1) model of electroweak interactions and so on. In Part I, we study the electroweak standard model. We first prove the global nonlinear stability results for the U(1) model, where we obtain uniform energy bounds (modulo a slow logarithm growth). Next we move to the full standard model, and get global stability results in some special cases. In Part II, we analyse a class of coupled wave-Klein-Gordon equations with critical nonlinearities, and prove the existence of global-in-time solutions which enjoy sharp pointwise decay property. Besides we study a class of Klein-Gordon equations with possibly vanishing mass, and prove sharp pointwise decay results which are uniform in its mass. In Part III, we mainly investigate the hyperbolic Fourier transform, and derive a new L2-type estimate for waves.
Cette thèse est consacrée à démontrer l'existence des solutions globales en temps pour certaines équations non-linéaires, y compris les équations d'ondes et de Klein-Gordon et les équations de Dirac. Pour les équations d'ondes qui sont basées sur la méthode de la feuilletage hyperboloïde, nous établissons plusieurs résultats de stabilité globale, explorons les comportements asymptotiques de ces solutions, et étudions comment les solutions sont affectées quand des paramètres de masse atteignent certaines limites. Comme application, nous prouvons que plusieurs modèles physiques sont globalement stables : le modèle de Dirac-Klein-Gordon, le modèle de Dirac-Proca, le modèle de Klein-Gordon-Zakharov, le modèle U(1) des interactions électro-faibles etc.. Dans la partie I, nous étudions le modèle standard électro-faible. Nous prouvons la stabilité globale non-linéaire du modèle U(1), dans laquelle nous obtenons des bornes uniformes (modulo une croissance lente de logarithme). Puis, pour le modèle standard complet, nous obtenons la stabilité globale dans certains cas spéciaux. Dans la partie II, nous analysons une sorte d'équations d'ondes et de Klein-Gordon avec non-linéalités critiques, et prouvons l'existence des solutions globales qui possède une propriété de décroissance pointue. D'ailleurs, nous étudions une sorte d'equation de Klein-Gordon avec une masse qui pourrait s'annuler, et prouvons la décroissance qui est uniforme en terme de sa masse. Dans la partie III, nous examinons principalement la transformation (hyperboloïde) de Fourier, et dérivons une nouvelle estimation de type-L2 pour les ondes.
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tel-02973646 , version 1 (21-10-2020)

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  • HAL Id : tel-02973646 , version 1

Citer

Shijie Dong. Existence results for nonlinear wave equations. Analysis of PDEs [math.AP]. Sorbonne Université, 2019. English. ⟨NNT : 2019SORUS086⟩. ⟨tel-02973646⟩
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