Noyau et métrique de Bergman dans des formules de représentations pour les convexes de type fini et applications - Université Toulouse 3 Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Noyau et métrique de Bergman dans des formules de représentations pour les convexes de type fini et applications

Résumé

In strictly pseudoconvex domains, S. G. Krantz found a solution for the Cauchy-Riemann equation for a bounded data in the Lipschitz space $\Lambda^(\frac(1)(2))$. Recently, a similar result was obtained in convex domains of finite type m by A. Cumenge and B. Fischer, J. E. Fornaess, K. Diederich : for a bounded data, the solution belongs to $\Lambda^(\frac(1)(m))$. However, S. G. Krantz's result in strictly pseudoconvex domains was improved by P. Greiner and E. Stein. Under the same hypothesis, they obtained a solution for the Cauchy-Riemann equation in the anisotropic Lispchitz space $\Lambda^(\frac(1)(2), 1)$. So, it seems that there is a better regularity for the solution in tangent directions. Our work consists in finding optimal lipschitzian estimates in a convex, bounded and smooth domain of finite type m. In the first part, we use the integral formula builded by A. Cumenge with Berndtsson-Andersson kernel. This construction is "semi-geometric" because the weight depends on Bergman kernel but the section is the classical Bochner-Martinelli. We obtained then a first result which is not optimal. We decided to keep it because it explains the usual approach and the difficulties for estimations. This result will be improved in the third part. In all the results, the data is isotropic and only the solution is anisotropic. So, we thougth interesting to try an approach where the data is bounded with an anisotropic norm. For this, we used the kappa norm introduced by Bruna-Charpentier-Dupain which is a sort of linear version of Kobayashi norm. The solution in then in the isotropic Zygmund space$\Lambda^1(\Omega)$. In the second part of our work, we construct a kernel totally geometric because in both weight and section, only Bergman kernel and Bergman metric are used. This construction is similar to Berndtsson-Andersson ones, but we can't used directly their results because our section is not checking their sufficient hypothesis. We then obtain a representation formula for (p,q)-forms. With this choice for the weight, we are cancelling the boundary term which appears in homotopy formulas and we are directly obtaining a solution for the Cauchy-Riemann equation for "delta-bar" closed forms. In the third part, we are applying this kernel and improving first part's result with an optimal estimate: for a bounded data, we can show that a solution is in an anisotropic space for function : $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ introduced by J. McNeal and E. Stein. This is a Lipschitz $\frac(1)(m)$ space for an anisotropic metric $\rho$ based on McNeal pseudometric. In order to prove this result, we need an adaptation of "Hardy-Littlewood" lemma and then we are able to estimate almost all the terms in the kernel. For the last one, which contain the maximal singularitie, we can't derive and then we need a direct approach. For this, we give an equivalent definition for $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ which is based on a sort of anisotropic approximation of unity adapted to the geometry of the domain. In the last part, we are giving a second application : we obtain a new proof for anisotropic Greiner and Stein theorem in strictly pseudoconvex domains. This is quite natural to obtain it because our aim was to obtain this sort of results, but we need here to express it in the euclidian geometry without using $\rho$ metric. So, this result show that we obtain the optimal estimates.
S. G. Krantz a montré qu'une solution u de l'équation de Cauchy-Riemann pour une donnée f à coefficients bornés appartient à l'espace de Lipschitz $\Lambda^(\frac(1)(2))$ dans les domaines strictement pseudoconvexes. Plus récemment, A. Cumenge d'une part et B. Fischer, J. E. Fornaess, K. Diederich d'autre part ont obtenu dans le cas des domaines convexes de type fini m des estimations en $\Lambda^(\frac(1)(m))$ . Cependant, le résultat de S. G. Krantz dans les domaines strictement pseudoconvexe a ensuite été amélioré par P. Greiner et E. Stein qui ont obtenu sous les mêmes hypothèses une solution dans l'espace anisotrope höldérien $\Lambda^(\frac(1)(2), 1)$. Ce résultat indique qu'une meilleure régularité de la solution est attendue dans les directions tangentes complexes. Notre travail consiste alors à obtenir les estimations lipschitziennes optimales des solutions de l'équation de Cauchy-Riemann dans un domaine $\Omega$ à frontière lisse borné et convexe de type fini. Dans la première partie de notre travail, nous reprenons la formule de représentation intégrale construite par A. Cumenge avec des noyaux de type Berndtsson-Andersson où le poids dépend du noyau de Bergman. Elle est ``semi-géométrique'' dans le sens où le noyau est construit en partie à l'aide du noyau de Bochner-Martinelli qui, bien qu'universel, ne nous permettra pas a priori d'exploiter toute la géométrie du domaine. Dans tous les résultats précités, la donnée $f$ est dans l'espace $L^(\infty)$. C'est ainsi la solution qui porte l'anisotropie induite par la géométrie des strictement pseudoconvexes ou des convexes de type fini. Il nous a semblé intéressant de donner aussi une approche où la donnée appartient à un espace anisotrope. Pour cela, nous utilisons la norme $|||f|||_(\kappa)$ qui est définie à l'aide d'une norme de type Kobayashi pour les vecteurs. La solution appartient alors à l'espace de Zygmund isotrope $\Lambda^1(\Omega)$. Pour montrer les techniques usuelles de résolution, et les difficultés d'approche pour les estimations de la partie euclidienne du noyau résolvant, nous donnons aussi un résultat où la donnée appartient à l'espace des (0,1)-formes $L^(\infty)$. Ce résultat n'est pas optimal et nous l'améliorons dans la troisième partie. La seconde partie donne la construction d'un noyau entièrement géométrique. Il ne fait plus intervenir que le noyau et la métrique de Bergman et nous pouvons espérer être donc à même de l'exploiter pour obtenir les résultats les plus fins. Cette construction est similaire à celle de Berndtsson-Andersson en choisissant comme section une approximation de la métrique de Bergman à l'ordre 2. Ce noyau permet d'obtenir une formule de représentation valable pour les (p,q)-formes en général. Le choix du poids permet l'annulation du terme d'intégration sur le bord qui apparaît dans les formules d'homotopie, ce qui nous donne directement une solution de l'équation de Cauchy-Riemann pour les (p,q)-formes $\overline \partial$ fermée. Dans la troisième partie, nous donnons un premier résultat qui utilise ce noyau et améliore le second résultat de la première partie. Nous obtenons un résultat optimal : pour une donnée dans $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que l'équation de Cauchy-Riemann admet une solution dans l'espace de fonction anisotrope $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ introduit par J. McNeal et E. Stein. C'est un espace de type Lipschitz $\frac(1)(m)$ pour une métrique $\rho$ faisant intervenir la pseudométrique de McNeal, donc reflétant la géométrie du domaine. Pour obtenir ce résultat, nous avons dû adapter un lemme de type ``Hardy-Littlewood anisotrope'' pour pouvoir estimer directement les termes du noyau ne contenant pas la singularité maximale. Pour le dernier terme, nous avons dû introduire une définition directe de $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ qui nécessitait l'introduction d'une approximation de l'unité adapté à la géométrie des convexes de type fini. Nous terminons par une seconde application : nous retrouvons un théorème de P. Greiner et E. Stein dans les domaines strictement pseudoconvexes. C'est-à-dire que pour une donnée $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que nous pouvons trouver une solution dans $\Lambda^(\frac(1)(2),1)(\Omega)$. Il est assez naturel de pouvoir y arriver puisque notre solution est construite afin de dominer les aspects géométriques des domaines.
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Dates et versions

tel-00004225 , version 1 (20-01-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00004225 , version 1

Citer

Mathieu Fructus. Noyau et métrique de Bergman dans des formules de représentations pour les convexes de type fini et applications. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004225⟩
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