THE DIVISION : A LONG SUFFERING
LA DIVISION : UNE LONGUE SOUFFRANCE (1994)
Résumé
Doing a division calculation is a target which comes up against obstacles linked with the meaning of the operational technique itself. This research aims to determine the origins and the nature of the most frequent mistakes in order to analyze the procedures used by pupils when they have to divide we will examine how the pupils interpret the learning of this operation. How the meanings are related themselves, and how they evolve. Our objective is to determine how the choice of different divisions makes it possible to check the mental processes of the pupils and to understand the meaning that they give to these calculations. The exploration of the areas to which the mathematical concepts belong will be done according to the classification and reflection on the meaning that the children give to their knowledge of the algorithm. Our study of the history of division allows us to distinguish a whole series of epistemological obstacles which come in the way of the establishment of this notion: division is a difficult algorithm. Which builds up strong "schemes" in children's minds, and continues to reveal itself through mistakes certain of which are recurrent. The epistemological obstacles which are of interest for teaching are those which now seem unavoidable either because the obstacle is inevitably constructed by the pupils during his cognitive development, or because it must be taught, to serve as a support for future knowledge. History shows how slow and difficult this construction has been and the resistance it has come up against. We also attempt to clarify how the concept comes from; and we’ve come up with a more or less plausible answer, without knowing how to go about finding a true answer. To simplify this situation we can say that this shows simultaneous coexistence of several perspectives.
Effectuer une division arithmétique est un objectif qui se heurte à des obstacles liés à l'apprentissage et à la technique opératoire de la division elle-même. L'étude présentée cherche à déterminer l'origine et la nature des erreurs les plus fréquentes, afin d'analyser les procédures utilisées par les élèves mis en situation d'effectuer des divisions. Nous étudions comment les élèves interprètent l'apprentissage de ce schème, et comment évoluent les significations relatives au sens lui-même. Notre objectif est de déterminer en quoi le choix des différentes divisions permet de contrôler les processus des élèves, et de comprendre le sens qu'ils attribuent à ces opérations. L'exploration des domaines dans lesquels s'inscrivent les concepts mathématiques sera envisagée selon la classification et la réflexion sur le sens que les enfants donnent à la connaissance de l'algorithme.
Notre étude de l'histoire de la division permet de distinguer toute une série d'obstacles épistémologiques à l'installation de cette notion : la division est un algorithme difficile, qui installe chez les enfants des schèmes résistants, et qui continue à se manifester par des erreurs, certaines, nous l'avons vu étant récurrentes. Les obstacles épistémologiques qui nous intéressent pour l'enseignement sont ceux qui apparaissent actuellement comme inévitables : soit parce que la connaissance-obstacle est fatalement construite par l'élève au cours de son développement cognitif, ou bien parce qu'elle doit être enseignée pour servir d'appui aux connaissances futures de l'élève. L'histoire montre bien combien cette construction a été lente, difficile, et quelles ont été les résistances qu'elle a rencontrées. L'histoire nous permet d'étudier aussi les situations d'apprentissage d'enseignement actuellement. On tente ainsi d'expliciter comment le concept de division est venu jusqu'à nous, et d'où il vient, et on se fabrique une réponse plus ou moins plausible ou séduisante, mais sans savoir comment il faut s'y prendre pour obtenir une réponse vraie. Pour schématiser cet état de choses, cela montre la coexistence simultanée de plusieurs perspectives. L'histoire des mathématiques entre dans le débat afin d'éclaircir la genèse du statut dans la pensée enfantine.
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